Losowość a giełda – o persystencji i antypersystencji trendów

Harold Edwin Hurst, brytyjski inżynier pracujący jako hydrolog w I połowie XX wieku, powinien dziś być bohaterem dla wszystkich współczesnych analityków wykresów giełdowych.

Pracując w Egipcie nad konstrukcją zbiorników wodnych ponad pół wieku temu, Hurst dostał zadanie od przełożonych – zaprojektować rezerwuar, który przyda się w czasach suszy i ochroni przed nadmiarowymi wylewami Nilu. Zbiornik miał jak najmniej ingerować w nurt życiodajnej dla kraju rzeki, nie zaburzyć jej przepływów i nie spowodować żadnej katastrofy gospodarczej. Zadanie wymagało przeanalizowania historii wylewów i ustalenia, czy jest w nich jakaś regularność, czy też są zupełnie losowe. Baza danych, na której przyszło mu pracować, była jak na owe czasy imponująca – z zachowanych dokumentów historycznych był w stanie odtworzyć historię wylewów i susz w Egipcie sięgającą, miesiąc po miesiącu, 847 lat wstecz. Zadanie Hursta nie odbiegało tak daleko od celu, przed którym stają codziennie dzisiejsi zarządzający funduszami wszelkiego typu, od inwestorów indywidualnych po ogromne fundusze hedgingowe – zapewnić swoim funduszom zysk w różnych warunkach rynkowych, w miarę stabilnie w czasach wylewów (hossy) i susz (bessy), unikając trafiających się od czasu do czasu katastrof – panik i krachów. Przed Hurstem uważano, że wylewy rzeki są nieprzewidywalne i nic z tym nie da się zrobić. Hurst pokazał, jak losowość ujarzmić.

Akademicy kontra praktycy

Losowość na giełdzie jest tematem mocno kontrowersyjnym – pół świata ekonomii (ekonomiści akademiccy) uznaje, że giełdę wystarczy modelować, zakładając pełną losowość notowań, drugie pół (praktycy rynku) są zdania dokładnie przeciwnego – że każdy ruch wykresu da się uzasadnić deterministycznie. Najciekawsze, że obie strony się mylą. Całkowitą losowość łatwo odrzucić, patrząc na bańki spekulacyjne i wyraźne trendy na wykresach. Całkowity determinizm też łatwo obalić, patrząc na wahania choćby na wykresach minutowych notowań firm, z którymi nic ważnego w każdej minucie nie musi się dziać. Musi zachodzić jakieś splątanie tych dwóch możliwości.

Benoit Mandelbrot, urodzony w Warszawie amerykański matematyk, kojarzony jest przede wszystkim z pojęciem fraktali i badania samopodobieństwa (własności znanej z wykresów giełdowych, w której np. wykres jednogodzinny, bez oznaczenia osi, łatwo pomylić z wykresem dziennym czy tygodniowym). W książce „The (Mis)Behavior of Markets" pisze: „Kośćmi rządzi przypadek. Koło ruletki kierowane jest przypadkiem. Kurs IBM, eurodolara czy ceny zboża nie rosną i nie spadają jednak pod wpływem matematycznych reguł przypadku – ale mogą być rozpatrywane jak gdyby faktycznie tak było". Książkę chwalił m.in. Nassim Taleb, nazywając „najbardziej realistyczną książką o finansach". Nie uciekłbym się do takiej superlatywy, bo jest to raczej książka popularnonaukowa o ideach niż o faktach, ale rzeczywiście jest ona godna polecenia.

We wszystkim, co robimy, jest jakaś losowość – ustawiając codziennie budzik na 7 rano, raz wstaniemy o 7.01, innym razem o 7.05, a czasem o 6.58. Rozmycie wokół wartości średniej (7.00) zawsze występuje i to rozmycie w nauce nazywa się wariancją. Rozmycie może być małe (od 6.58 do 7.03), jak i ogromne (od 5.54 do 8.23). Rozmycie notowań giełdowych wokół trendów jest ciekawe m.in. dlatego, że dotąd nikt nie potrafi wyjaśnić, dlaczego – skoro notowania są losowe – rozmycie (zmienność) rośnie szczególnie silnie podczas bessy, a nie jest tak duże albo wręcz maleje podczas hoss.

Są też zupełnie inne rozkłady. Rozkład log-normalny albo Weibulla są na przykład rozkładami niesymetrycznymi. Duży wzrost jest znacznie bardziej prawdopodobny niż duży spadek. To przypomina już bardziej sytuację na rynku – gdzie w długim terminie stracić można 1, 2, 5 czy 20 proc., ale maksymalnie całość, czyli 100 proc., natomiast zyskać można 1, 2, 5, ale nawet i 120, 240 czy 500 proc.

Rozkład zysków i strat tych rozkładów jest niesymetryczny. Ale to też dość proste rozkłady, w których jasno da się określić wartość średnią, wariancję i kolejne tzw. momenty rozkładu – są one określone i skończone. Taką losowość Mandelbrot nazywał „powolną", czymś pośrednim między znanym Gaussem a bardziej wymyślnym zachowaniem. Od łagodnej wyraźnie oddzielił on bowiem tzw. dziką losowość – to już rozkłady o dziwniejszych właściwościach, których parametry (jak wariancja) mogą być nieskończone; które fluktuują w jakimś zakresie, ale od czasu do czasu doświadczają skoku tej fluktuacji poza jakąkolwiek dotychczasową skalę. W takim razie: jakiemu rozkładowi podlegają stopy zwrotu na giełdzie?

Zaniedbana „dzika losowość"

To trudne pytanie i nikt nie ma na nie jednoznacznej odpowiedzi. Z całą pewnością wiemy, że nie jest to rozkład normalny, choć jest on już niezłym pierwszym przybliżeniem dla długich okresów. Najwięcej odchylenia od tego „bazowego scenariusza" widać na tzw. ogonach rozkładu, czyli przy skrajnych wartościach zysków i strat – co odpowiada np. bańkom w szczycie hossy lub panikom w dołku bessy, ale nie tylko. Występują tzw. grube ogony rozkładu, przykładem jest choćby rozkład Levy'ego (patrz Wykres 1). Występuje też zjawisko tzw. klastrowania zmienności, czyli występowania okresów większej i mniejszej zmienności wyraźnie układających się w paczki występujące razem – zamiast równomiernego rozłożenia w czasie. Występuje korelacja zmienności i wolumenów transakcji i powiązany z tym efekt dźwigni, czyli korelacja spadków ze zwiększeniem obrotów na walorze (symetrycznie wysokim zwyżkom zwiększenie obrotów nie towarzyszy albo jest znacznie mniejsze). Wszystko to obrazuje odstępstwa od „łagodnej losowości", ale co ciekawe, identycznie jak to jest w centralnym twierdzeniu granicznym – efekty słabną, a rozkłady stóp zwrotu coraz bardziej przypominają rozkład Gaussa, im większe skale czasowe zbadamy (tj. dane tygodniowe są znacznie bardziej gaussowskie niż notowania tego samego waloru w skali godzinowej). Jednocześnie w długich terminach uwypuklają się korelacje długozasięgowe, czyli nic innego jak długoterminowy trend wzrostowy giełdy.

Mandelbrot argumentuje, że nauka za mocno skupiła się na łagodnej losowości, zaniedbując dużą zmienność i „dziką losowość" spotykaną na rynku. Taleb w książce „Czarny łabędź" idzie nawet tak daleko, że stwierdza, że te skrajne odstępstwa od bazowego scenariusza są jedynym, na co powinniśmy polować w inwestowaniu – prezentuje on styl inwestowania oparty na szukaniu odchyleń od normalności na giełdzie i naruszenia standardowych, ułomnych w takich warunkach miar ryzyka. Jest to jeden z możliwych stylów inwestowania, ale z pewnością niejedyny.

Fundamentem ilościowego podejścia do inwestowania, stosowanego przez tak zwanych quantów i fundusze algorytmiczne, jest natomiast to, by nie starać się przewidzieć, co stanie się w kilku wybranych przypadkach (w  konkretnych transakcjach), ale by korzystać z praw statystyki matematycznej, działających tym silniej, z im z większą liczbą obserwacji mamy do czynienia. Zrozumienie tej losowości, której doświadczamy na rynku, jest kluczowe w tych dziedzinach inwestowania.

Wróćmy jednak do Hursta i Nilu. Problem, przed którym stanął, przypomina ten sam, przed którym staje każdy analityk wykresów – określ, czy to, na co patrzysz, to trend, czy szum. Jeśli to trend, to dokąd zmierza? Jaki jest stosunek sygnału do szumu? Hurst wypracował całkowicie nową, przydatną miarę – którą Mandelbrot później przypomniał i odświeżył – znaną dziś od jego nazwiska jako wykładnik Hursta lub współczynnik H. Teoria za nią stojąca jest dość rozbudowana, dość powiedzieć, że istnieją trzy główne metody estymacji tego wykładnika (Rescaled Range, Detrended Fluctuation Analysis oraz Wavelet Transform).

Wykładnik może przyjmować wartość od 0 do 1 – gdzie dla idealnej losowości, szeregu z całkowicie niezależnymi zmianami stopy zwrotu spodziewać się można wartości 0,5. Wartość większa od 0,5 oznacza persystencję – po wystąpieniu ruchu w jedną stronę bardziej prawdopodobny jest kolejny taki ruch. Taka sytuacja sprzyja trendom na wykresie. Wartość mniejsza od 0,5 oznacza natomiast antypersystencję – po ruchu w jakąś stronę bardziej prawdopodobny staje się kolejny ruch w stronę odwrotną. Wylewy Nilu okazały się, wbrew pozorom, nie całkiem losowe. Starożytni przypisywali ich wystąpienia kaprysom ówczesnych bogów. Hurst odkrył zaś, że ich współczynnik „losowości" wynosi 0,73. Ponad 0,5 szereg wykazywał więc silną „persystencję". Lata nadmiaru i lata suszy zbijały się w grupy, a wystąpienie nadmiarowego wylewu zwiększało szanse na ponowny wylew w kolejnym roku.

Współczynnik Hursta

Jak to jest ze współczynnikiem Hursta na giełdzie? Można się spodziewać, że w silnych rynkach z silnymi trendami współczynnik Hursta jest większy od 0,5 – czyli po zwyżkach bardziej prawdopodobne są zwyżki. W przypadku notowań znajdujących się w konsolidacji, poruszających się zygzakiem: góra - dół - góra, współczynnik Hursta jest zaś niższy od 0,5.

Hurst mierzył współczynnik dla całej historii – rzeki są jednak prostsze do badania niż rynki. Rynki stale się dostosowują – kto śledzi giełdę, ten wie, że jej zachowanie się zmienia. To inna ciekawa badawczo właściwość, nazywana stacjonarnością – czy rozkład na giełdzie jest stały w czasie, czy zmiana zachowania inwestorów nie zmienia tych rozkładów? Na potrzeby tej analizy stosuję „okno czasowe" 200 lub 500 sesji, dla którego liczę współczynnik Hursta, i umieszczam wykres tego współczynnika pod wykresem waloru, żeby śledzić zmiany. Współczynnik dla znajdujących w silnym ostatnio trendzie spadkowym rynków wschodzących (Emerging Markets ETF) wskazuje silną persystencję (Wykres 2). Tymczasem wykres dla pary walutowej EUR/CHF od dłuższego czasu (dane do grudnia 2015 r.) zygzakującej już w ścisłym zakresie cen, wykazuje silną antypersystencję (Wykres 3).

To dziwne, że pół wieku po pracy Hursta nadal jego pomysł badania szeregów czasowych nie jest dobrze znany. W zasadzie odkryty na nowo przez Mandelbrota, po kilku dekadach zaczyna być dopiero poważniej badany. Istnieją prace wskazujące prognostyczne właściwości współczynnika Hursta, sugerujące np. że osiąga on wartości ekstremalne przed silnymi krachami.

Warto przy okazji zauważyć, że współczynnik H nie mówi, jaki jest trend ani czy się utrzyma – on mierzy, czy zmiany występujące są poszarpane („antypersystentność"), czy gładkie („persystentność"). Skakanie raz w dół, raz w górę, ale z asymetrią skoków, też spowoduje wyraźny trend, chociaż będzie idealnie antypersystentne. Nie jest to więc ostateczna wyrocznia ani szklana kula z widokiem na przyszłość. To miara, która przydaje się do oceny całościowej sytuacji na danym rynku, dobrze uzupełnia zestaw narzędzi do badania sytuacji rynkowej.