W. Sharp w roku 1963 opracował tzw. model jednowskaźnikowy. Wymaga on znacznie mniejszej liczby danych, a także stosujeprostsze techniki obliczeniowe niż model zaproponowany przez H. Markowitza. W. Sharp wyszedł z następującego założenia:stopy zwrotu akcji na rynku są ściśle powiązane z działaniem elementu określanego jako czynnik rynku.
Jarosław PorowskiCzynnik, który najbardziej odzwierciedla trend poruszania się spółek na giełdzie, to indeks giełdowy. Spośród indeksów GPW może to być WIG, który ma najbardziej ogólny charakter, ponieważ udział w nim mają wszystkie spółki rynku podstawowego. W polskich realiach może być zatem traktowany jako czynnik rynku.Podstawowe równanie modelu.Szacowanie jego parametrówdla spółek rynku podstawowego GPWModel stworzony przez W. Sharpa można opisać następującym równaniem:Ri = ai + bi × Rm + Ut (2.1)gdzie:Ri ? stopa zwrotu i-tej akcjiRm ? stopa zwrotu indeksu giełdowego (w naszym przypadku WIG)ai, bi ? parametry strukturalne równaniaUt ? składnik losowy równaniaPowyższy wzór ilustruje zależność stopy zwrotu i-tej spółki z rynku podstawowego GPW od zmiany stopy zwrotu rynku. Jest to jednak pewne uproszczenie, ponieważ na zmiany wartości spółek giełdowych ma wpływ jeszcze wiele innych czynników. Zależności tej (2.1) nie można uznać za nieprawdziwą, gdyż wszelkie wahania kursów niezależne od zmian rynku są objaśniane przez składnik losowy równania. Przyjmuje się, że jego wartość oczekiwana jest równa zero w odpowiednio długim okresie. Znaczy to, że im większą liczbę okresów przyjmuje się do analizy, tym otrzymywane wartości powinny trafniej odzwierciedlać rzeczywistą sytuację. Do obliczeń przedstawionych w tej części artykułu wykorzystano dane tygodniowe wartości kursów spółek z rynku podstawowego za okres 6.05.1999?31.03.2000.Najważniejszym elementem równania (2.1) jest parametr beta. Nazywa się go często współczynnikiem agresywności, ponieważ odzwierciedla on zmiany stopy zwrotu danej akcji w stosunku do zmian rynku.Jeżeli beta jest równa 1, oznacza to idealną pozytywną korelację spółki z rynkiem (1% wzrostu/spadku wartości stopy zwrotu indeksu przekłada się na 1% wzrostu/spadku wartości stopy zwrotu akcji). Sytuację tę obrazuje rysunek (2.1). Jak widzimy, od maja do października 1999 r. występowała prawie idealna korelacja między stopą zwrotu WIG i Bytomia, natomiast w okresie listopad ?99?luty ?00 nastąpiła zmiana tego zjawiska. Wyznaczony współczynnik obejmuje jednak wartości średnie z poszczególnych miesięcy, co daje w efekcie wartość równą 1.Wartość współczynnika większa od 1 oznacza ponadprzeciętną reakcję stopy zysku akcji i akcje takie nazywa się agresywnymi. W badanym okresie taką wartością charakteryzowała się stopa zwrotu akcji Agrosu. Na rysunku (2.2) możemy zaobserwować, że zarówno wzrostom, jak i spadkom stopy zwrotu WIG towarzyszyły ponadprzeciętne zmiany stopy zwrotu akcji tej spółki.Beta z przedziału (0;1) jest charakterystyczna dla akcji określanych jako defensywne, można o nich powiedzieć, że nie nadążają za zmianami na rynku. Zostało to uwidocznione na rys. (2.3), jak widać w okresie od czerwca do grudnia 1999 roku stopa zwrotu Oceanu zmieniała się w kierunku tym samym co WIG, ale jej zmiany były mniejsze (łagodniejsze).Dosyć rzadko spotykaną sytuacją jest beta o wartościach ujemnych, oznacza to, że kierunki zmian stopy zwrotu akcji i rynku są przeciwne. Doskonałym przykładem takiej sytuacji w badanym okresie jest ruch stóp zwrotu Krosna, który, jak widzimy na rys. (2.4), był przeciwstawny zmianom stóp zwrotu WIG. W praktyce są to zazwyczaj sytuacje przejściowe i wiążą się z czynnikami pozarynkowymi. Należy tutaj dodać, że wartości tego współczynnika są uważane za dosyć stałe w czasie, zatem przy analizie opartej na danych historycznych, otrzymane wyniki dość dobrze powinny odzwierciedlać zachowanie stóp zwrotu akcji w przyszłości.Przy wyznaczaniu wartości parametru beta korzystamy ze wzoru:bi = rim × Si (2.2) Smgdzie:bi ? współczynnik beta dla i-tej akcjirim ? współczynnik korelacji stopy zwrotu i-tej akcji ze stopą zwrotu WIGSi, Sm ? odchylenia standardowe od stopy zwrotu i-tej akcji i WIGNatomiast ocenę parametru alfa wyznacza się na podstawie następującego wzoru:ai = Ri ? bi × Rm (2.3)gdzie:ai ? współczynnik alfa dla i-tej akcjibi ? współczynnik beta wyznaczony ze wzoru (2.2)Ri, Rm ? średnie stopy zwrotu i-tej akcji i rynkuPrzykładowo oszacowane równania (2.1) na podstawie wzorów (2.2) i (2.3) z uwzględnieniem danych z okresu 6.05.1999? ?31.03.2000 dla spółek Kable i BWR mają postać odpowiednio: ^ ^ RK = 20,731 ? 1,97 × Rm RBWR = ?13,397 + 0,21 × RmWartość współczynnika beta ?1,97 dla Kabli oznacza, że stopa zwrotu spółki porusza się w kierunku przeciwnym zmianom stopy zwrotu WIG i dodatkowo zmiany te są blisko dwa razy większe w porównaniu z indeksem.W obydwu przypadkach zwraca uwagę duża wartość współczynnika alfa, która w tym przypadku zadecydowała, że Kable osiągnęły najwyższą średnią stopę zwrotu, a akcje BWR przyniosły stratę w badanym okresie.Rysunki (2.5) i (2.6) przedstawiają przebieg rzeczywistych i oszacowanych modelem W. Sharpa miesięcznych stóp zwrotu powyższych dwóch spółek. Wniosek, jaki można wysunąć z obserwacji przebiegu wykresów, jest następujący: opisywany model powoduje spłaszczenie (wygładzenie) stóp zwrotu i nie pozwala przewidzieć dużych wahań kursu (zarówno spadków, jak i wzrostów).Jednak biorąc pod uwagę cały okres, widzimy, że jest to model dobrze opisujący zachowanie się spółek. Szczególnie w przypadku Kabli jest to bardzo dobrze widoczne na wykresie. Możemy w tym miejscu wysnuć jeszcze jeden wniosek, mianowicie: im wyższa bezwzględna wartość współczynnika korelacji akcji danej spółki z WIG, tym oszacowane wartości będą bliższe rzeczywistości. W powyższym przykładzie współczynnik korelacji walorów Kabli minus 0,6, a BWR plus 0,04.Tworzenie portfelipapierów wartościowychna podstawie danych rocznych,półrocznych i 3-miesięcznychOstatnim etapem analizy jest stworzenie portfela papierów wartościowych. Kryterium rozstrzygającym będzie tu maksymalizacja stopy zwrotu portfela. Warunek maksymalizacji można formalnie zapisać w następujący sposób: k kf = S ai × wi + Rm × S b × wi + Ui ? max (3.2) i=1 i=1gdzie:f ? wartość funkcji celuwi ? udział i-tej spółki w portfeluk ? liczba spółek będących podstawą budowy portfelaRm ? średnia miesięczna stopa zwrotu indeksu giełdowegoai, bi, U ? jak we wzorze (2.1)Aby funkcja celu (3.2) spełniała swoje zadanie, jest potrzebne wprowadzenie następujących warunków ograniczających: kS wi = 1 (3.3) i=1 kS Ri × wi ł R (3.4) i=1 kS bi × wi ł b (3.5) i=1 kS Si × wi Ł S (3.6) i=1w1,w2,...,wk ł 0 (3.7)gdzie:Ri ? średnia miesięczna stopa zwrotu i-tej spółkiR ? zadana wartość stopy zwrotu, jaką chcemy otrzymać z portfelabi ? miesięczny współczynnik beta i-tej spółkib ? zadana wartość współczynnika beta, jaką chcemy uzyskać z portfelaSi ? miesięczne odchylenie standardowe stopy zwrotu i-tej spółkiS ? maksymalne oczekiwane ryzyko portfelaWarunek (3.3) jest oczywisty i nie wymaga wyjaśnień. Natomiast warunek (3.4) określa minimalny poziom stopy zwrotu, jaką jesteśmy w stanie zaakceptować w portfelu. Nierówność (3.5) określa, jaką minimalną wartość współczynnika beta chcemy uzyskać po skonstruowaniu portfela. Nasz stopień akceptacji ryzyka inwestycji określa zależność (3.6), która wskazuje maksymalne odchylenie standardowe, jakie może charakteryzować zbudowany portfel. Ograniczenie (3.7) pozwoli nam uniknąć ujemnych wielkości udziałów w portfelu, co w praktyce oznacza wyłączenie możliwości krótkiej sprzedaży.Model zapisany równaniami (3.2)?(3.7) możemy rozwiązać za pomocą np.: algorytmu Simplex. Wykorzystany zostanie do tego celu ?Solver? z arkusza kalkulacyjnego Excel 7.0.Potrzebujemy określenia zakresu danych użytych do tworzenia poszczególnych portfeli. Skład portfeli 6-miesięcznych na podstawie danych z 6 miesięcy i odpowiednio portfele 3-miesięczne na podstawie danych z 3 miesięcy. Przykładowo portfel 6-miesięczny na maj 2000 r. zostanie wyznaczony z uwzględnieniem danych z okresu listopad 1999?kwiecień 2000. Natomiast portfel 3-miesięczny na sierpień 2000 r., na podstawie danych maj?lipiec 2000 r.Do wyznaczenia składu poszczególnych portfeli potrzeba jeszcze określić liczbowo warunki ograniczające zapisane równaniami (3.4)?(3.6). Będą one różne dla różnych portfeli, w celu zapewnienia ich optymalnego składu. Żądana minimalna stopa zwrotu (war. 3.4) dla wszystkich portfeli będzie jednakowa i wyniesie miesięcznie 3,5% (bliska średniej, jaką charakteryzował się rynek w okresie od maja 1999 do marca 2000 r.). Warunek (3.5), czyli minimalny poziom współczynnika beta, zawiera się w przedziale od 0,8 do 0,85 dla poszczególnych portfeli, natomiast górny poziom ryzyka został określony na 14% (war. 3.6) poziomy te zostały wyznaczone arbitralnie.Dysponując odpowiednimi danymi i uwzględniając powyższe warunki, możemy przystąpić do wyznaczenia składu poszczególnych portfeli. Poniższe tabele przedstawiają otrzymane wyniki. Okres analizy obejmuje tygodniowe wartości kursów akcji od maja 1999 do października 2000. Wyjaśnić jeszcze należy, że kolumna ?stopa zwrotu? oznacza stopę zwrotu, jaką powinniśmy uzyskać zgodnie z przewidywaniami modelu. ?Rzeczywista stopa zwrotu? to taka, którą byśmy uzyskali, kupując walor na początku miesiąca i sprzedając na końcu. Natomiast kolumna ?maksymalna stopa zwrotu? oznacza zysk, który moglibyśmy uzyskać, gdyby wykorzystać maksymalny kurs waloru w momencie sprzedaży.Wśród portfeli przedstawionych w tabeli 1 największą stopę zwrotu mógł uzyskać portfel na miesiąc maj ?00, maksymalnie mogłaby ona wynieść ponad 8%, przy jednoczesnym ryzyku mierzonym odchyleniem standardowym wynoszącym 10%. Najsłabszy wynik przyniósł portfel zaproponowany przez model na czerwiec ?00, strata ponad 8%, przy ryzyku blisko 12%. We wszystkich przypadkach charakterystyczna jest dość duża rozbieżność między oczekiwaną stopą zwrotu, stopami wynikającymi z rzeczywistych notowań poszczególnych walorów.W tabeli 2 zostały przedstawione wyniki finansowe portfeli w poszczególnych miesiącach, przy założeniu pierwotnej inwestycji na początku maja 2000 r. w wysokości 100 tys. zł. Jak widzimy, efekt mierzony rzeczywistą stopą zwrotu jest ujemny i wynosi blisko ?5%, czyli zainwestowane 100 tys. zł na koniec października dałoby 95 tys. zł1. Jeżeli natomiast dobrze dobieralibyśmy moment sprzedaży naszych walorów, to po 6 miesiącach otrzymalibyśmy zysk w wysokości 12%. Nie możemy zapominać, że w tym czasie portfel rynkowy stracił blisko 18%.Ostatnim etapem jest stworzenie portfeli na podstawie danych 3-miesięcznych oraz analiza ich efektywności. Tabela 3 przedstawia otrzymane wyniki.Z danych zaprezentowanych w tabeli 3 wynika, że najwyższą stopę zwrotu można było uzyskać w sierpniu, zysk inwestora mógłby wynieść 16,8%, natomiast ryzyko tego portfela sięgnęło prawie 10%. Najsłabszy wynik mierzony maksymalną stopą zwrotu osiągnął portfel w październiku ? niewiele ponad 1%, jeżeli weźmiemy rzeczywistą stopę zwrotu, to największą stratę przyniósł portfel we wrześniu ? ponad 13%. W badaniach dla tego okresu zwraca również uwagę fakt dużej rozbieżności między rzeczywistymi wynikami a oczekiwaną stopą zwrotu.Z wyników przedstawionych w tab. (2.4) widać konieczność określania momentu sprzedaży spółek z portfela. Zwrot rzeczywisty z inwestycji wyniósł ?18% i był porównywalny ze stratą WIG ?17,75%. Natomiast zwrot optymalny z inwestycji wyniósł 52% w ciągu badanych 6 miesięcy, czyli z zainwestowanych 100 tys. zł moglibyśmy otrzymać 52 tys. zł zysku. Ponadto należy zauważyć, że w przypadku maksymalnej stopy zwrotu w żadnym miesiącu nie zanotowaliśmy ujemnej stopy zwrotu, oznacza to, że w każdym z badanych miesięcy inwestor mógł znaleźć moment sprzedaży akcji, w którym uzyskałby zysk.PodsumowaniePo analizie wszystkich otrzymanych wyników przedstawionych portfeli można wyciągnąć następujące wnioski:1. Horyzont czasowy w badanych przypadkach spowodował wpływ danych z hossy okresu grudzień 1999?kwiecień 2000 na słabszą efektywność portfeli 6-miesięcznych. Skrócenie horyzontu czasowego powoduje mniejszy wpływ danych z przeszłości na skład portfeli i lepsze odzwierciedlenie aktualnych zjawisk zachodzących na giełdzie. Jednak należy pamiętać, że zbyt krótki horyzont mógłby spowodować, że parametry alfa i beta byłyby źle dobrane i model nie sprawdzałby się.2. Zachodzi konieczność wsparcia analizy portfelowej elementami analizy technicznej i fundamentalnej, dla wyznaczenia optymalnych momentów sprzedaży walorów poszczególnych spółek. Zaproponowany model wyznacza tylko potencjalny skład portfeli, natomiast uzyskanie odpowiednich stóp zwrotu można osiągnąć tylko przez określenie momentu sprzedaży. Zastosowanie innych analiz, a także obserwacja informacji o określonych spółkach, pozwoliłoby na uniknięcie takiej sytuacji, jak np. udział Oceanu w składzie portfela 3-miesięcznego zaproponowanego na lipiec. W tym czasie na rynku pojawiły się informacje o kłopotach tej spółki, zatem powinniśmy ją wyłączyć z portfela. Pozwoliłoby to na uniknięcie strat, które wyniosły w lipcu 14%, co znacznie zaniżyło wynik całego portfela.3. Należy także uwzględnić sytuację, jaka panowała na rynku w momencie dokonywania transakcji. W tym czasie, tj. maj?październik ?00, na GPW panowała bessa, a WIG odnotowywał bardzo duże spadki. To spowodowało, że bardzo trudno było ?wypracować? zyski w tym okresie.4. Proponowana przez model stopa zwrotu, którą dany walor uzyskiwał średnio w poprzednich miesiącach, może służyć jedynie do wyznaczenia potencjalnego składu portfela. Po analizie porównawczej wyznaczonej wartości oczekiwanej stopy zwrotu i rzeczywiście otrzymanej stopy zwrotu, widzimy, że we wszystkich przypadkach są one diametralnie różne, na niekorzyść rzeczywiście otrzymywanych wyników.W podsumowaniu możemy stwierdzić, że założenie W. Sharpa o zależności stopy zwrotu akcji od czynnika rynku jest bardzo trafne. Większość spółek na GPW wykazuje dodatnią korelację z indeksem WIG. Kolejną jego zaletą jest prostota konstrukcji, co wpływa na częste jego wykorzystywanie przez analityków. Użycie tej metody do wyznaczania składu portfela papierów wartościowych powinno przynieść dobre rezultaty, jeżeli uwzględnimy wyżej wymienione wnioski. W szczególności wskazane wydaje się użycie 3-miesięcznego horyzontu badawczego oraz konieczność zastosowania innych analiz i wnikliwej obserwacji rynku. Należy także zaznaczyć, że w analizie nie zostały uwzględnione koszty zawarcia transakcji (prowizje pobierane przez domy maklerskie). Opłaty te nie mają znaczącego wpływu przy transakcjach rzędu 50 tys. zł, natomiast przy transakcjach poniżej 10 tys. zł mogą być już istotne. nBibliografia:W. Tarczyński, Rynki kapitałowe. Metody ilościowe, t. II, Placet, Warszawa 1997.
H.B. Mayo, Wstęp do inwestowania, K.E. LIBER, Warszawa 1997.1 Wszystkie koszty transakcji zostały pominięte.
