Symulacja Monte Carlo podpowiada, czego można się spodziewać po akcjach

Z jakim prawdopodobieństwem można oczekiwać, że WIG za 5 lat osiągnie poziom 100 tysięcy punktów, a jakie są szanse, że przekroczy go w ciągu 10 lat? Na tego typu pytania pomaga odpowiedzieć symulacja Monte Carlo, którą z powodzeniem można wykorzystywać do planowania swojej przyszłości finansowej

Kontynuujemy nasze rozważania dotyczące postrzegania giełdy i zmian kursów akcji przez pryzmat matematycznego prawdopodobieństwa. Przed tygodniem zajmowaliśmy się pojęciami takimi jak odchylenie standardowe i rozkład normalny. Pokazaliśmy, że za pomocą tych narzędzi można całkiem nieźle wytłumaczyć zmiany kursów akcji, a zarazem dobrać sobie pożądany udział akcji w portfelu inwestycyjnym.

Tym razem spróbujemy „zdynamizować" te zagadnienia. Postaramy się pokazać, w jaki sposób pojęcia takie jak odchylenie standardowe mogą się przekładać na poziom kapitału wraz z upływem czasu, bo to właśnie to przecież ostatecznie najbardziej interesuje każdego inwestora. Jakich zysków z inwestycji w akcje można oczekiwać po upływie określonego czasu? Jaki będzie poziom kapitału w zależności od tego, ile zainwestujemy w akcje?

Przeszłość wskazówką

Historyczne stopy zwrotu to materiał, na którym bazują zwykle analitycy poszukujący odpowiedzi na temat tego, co może czekać rynki w przyszłości. Obliczyliśmy, że począwszy od 1997 r. średnia roczna stopa zwrotu z indeksu WIG wyniosła prawie 7 proc. powyżej inflacji (w niniejszym artykule będziemy się posługiwać wyłącznie takimi realnymi stopami zwrotu, tak aby nasze wywody były niezależne od zmieniającego się tempa inflacji). Innymi słowy, akcje dawały realne zyski, co nie powinno dziwić, biorąc pod uwagę rozwój polskiej gospodarki.

Skoro mamy tę liczbę, to pojawia się pokusa, by potraktować ją dosłownie w prognozach na przyszłośź, tzn. założyć, że rok po roku WIG będzie rósł o owe 7 proc. w ujęciu realnym. Czyli np. jeśli zainwestowaliśmy w akcje (mówiąc „akcje", mamy tu na myśli zdywersyfikowany portfel podobny do składu WIG, którego zmiany służą do wszystkich wywodów w niniejszym artykule) 10 tys. zł, to możemy obliczyć, że po np. trzech latach kwota ta powinna urosnąć o około 22,5 proc. w ujęciu realnym, czyli do poziomu 12250 zł (wszystkie obliczenia w niniejszym tekście pomijają dla uproszczenia podatki od dochodów kapitałowych).

Niestety taka prosta metoda jest w praktyce dość naiwna. Problem polega na tym, że przecież zyski z akcji wcale nie są równomiernie rozłożone w czasie. Przykładów nie trzeba szukać daleko. Weńmy choćby pod uwagę 2008 rok, kiedy WIG runął aż o 50 proc., kasując zyski inwestorów z poprzednich lat. Ktoś, kto na początku 2008 r. zakładał, że przez rok jego portfel urośnie o 7 proc. w ujęciu realnym, musiał się bardzo rozczarować. Akcji nie można oczywiście traktować tak jak bezpiecznych instrumentów, które rok po roku przynoszą podobne, w miarę przewidywalne stopy zwrotu. Stwierdzenie to wydaje się banalne, ale przecież jeszcze kilka lat temu niejeden Polak uwierzył w wypowiadane przez tzw. doradców finansowych zapewnienia o tym, że akcje będą przynosić duże systematyczne zyski. Historycznie odchylenie standardowe realnych rocznych stóp zwrotu z WIG przekracza aż 27 proc.

Czy wobec rozchwiania rynku akcji odpowiedzi na postawione wcześniej pytania są zatem niczym innym, jak kwestią wróżenia z fusów? Na szczęście inwestorzy nie są w aż tak rozpaczliwej sytuacji. Naukowcy wymyślili metodę, która pozwala w precyzyjny matematyczny sposób oszacować, czego można się spodziewać po inwestycjach w akcje (i nie tylko akcje). Tą metodą jest tzw. symulacja Monte Carlo. Już sama nazwa sugeruje, że metoda ta uwzględnia to, że kursy akcji mogą się zmieniać w sposób losowy (Monte Carlo słynie z kasyn).

Czas na konkrety

Postanowiliśmy przeprowadzić prostą symulację Monte Carlo, by zobrazować jej użyteczność. Bohaterem naszych wywodów uczyńmy przykładowego inwestora w wieku 25 lat, który zamierza odkładać co roku 6000 zł (czyli 500 zł miesięcznie) aż do osiągnięcia wieku 60 lat (ponieważ cały czas mówimy o wartościach realnych, to należy to rozumieć w ten sposób, że inwestor musiałby co roku podnosić tę kwotę o wskaźnik inflacji). żeby uprościć wywody, załóżmy, że bohater tej historii ma do wyboru dwie opcje inwestycyjne. Pierwsza z nich to bezpieczne lokaty bankowe, które co roku będą dawać 2 proc. realnego zysku (to upraszczające, ale realistyczne założenie). Druga opcja to akcje, po których można się spodziewać aż 7 proc. realnego dochodu, ale przy przekraczającym 27 proc. odchyleniu standardowym. Inwestor ma do wyboru dowolne kombinacje tych opcji.

Gdyby nasz bohater był skrajnie niechętny do ryzyka, to oczywiście powinien wybrać wyłącznie opcję nr 1, czyli lokaty gwarantujące niski, ale pewny zysk. Przy wspomnianych założeniach, w wieku 60 lat powinien mieć kwotę około 300 tys. zł (według dzisiejszej siły nabywczej pieniądza). Nasz bohater ma jednak ochotę na wypracowanie większych zysków, tak więc kieruje wzrok w kierunku mających w sobie większy potencjał akcji. Wie oczywiście o tym, że kursy na giełdzie bywają mocno rozchwiane, tak więc w swoich planach finansowych wprowadza minimalny wymóg, mówiący o tym, że w wieku 60 lat jego kapitał powinien być co najmniej równy sumie wpłat, czyli powinien wynosić nie mniej niż 210 tys. zł. Inwestor zakłada na potrzeby symulacji, że wymóg ten powinien być spełniony z 90-proc. prawdopodobieństwem.

Czas więc na symulację. Z naszych obliczeń wynika, że gdyby nasz bohater całe pieniądze inwestował wyłącznie w akcje, to postawiony przez niego wymóg nie byłby spełniony. Symulacja mówi bowiem, że kwota, której mógłby się z dużym prawdopodobieństwem spodziewać w wieku 60 lat, wynosi jedynie 126 tys. zł. Jednocześnie symulacja pokazuje też, że w odróżnieniu od bezpiecznych lokat, akcje dają jednak pewne szanse na bardzo duże zyski. Przykładowo z 10-proc. prawdopodobieństwem można by oczekiwać, że kapitał urośnie powyżej 1,7 mln zł!

Nasz bohater postanawia zatem pójść dalej i sprawdzić wyniki przy różnych udziałach akcji w portfelu. Okazuje się, że gdyby portfel został po równo podzielony między akcje i bezpieczne lokaty, to po pierwsze wymóg dotyczący minimalnego kapitału zostałby spełniony, a po drugie obecność akcji dawałaby pewne szanse na zyski znacznie większe niż z samych lokat. Symulacja Monte Carlo potwierdza, że dołączenie akcji do długoterminowego portfela inwestycyjnego pozwala osiągnąć lepsze wyniki.

Na koniec podajmy odpowiedź na pytania postawione na wstępie. W tym celu musimy zmodyfikować użyte wcześniej dane. Teraz dla odmiany musimy się posłużyć danymi nominalnymi, a nie realnymi. W takim ujęciu historyczna średnia roczna zmiana WIG to 11,8 proc., a odchylenie standardowe to 28,5 proc. Po podstawieniu tych danych do symulacji okazuje się, że prawdopodobieństwo, iż WIG w ciągu pięciu lat sięgnie poziomu co najmniej 100 tys. pkt, wynosi 25 proc. Z kolei szanse na przekroczenie tego pułapu w ciągu 10 lat rosną do 50 proc.

[email protected]

Jak wygląda symulacja Monte Carlo?

Cechą charakterystyczną tej metody są generowane w sposób losowy liczne hipotetyczne ścieżki, po których mógłby kroczyć kurs danego instrumentu czy indeksu, a w konsekwencji także poziom zainwestowanego kapitału. Cała procedura składa się z następujących etapów:

1. Do przeprowadzenia symulacji w wersji użytej przez nas w tekście potrzebne są następujące dane wejściowe: średnie historyczne stopy zwrotu z akcji oraz historyczne odchylenia standardowe tych stóp zwrotu. Do tego przy poszczególnych symulacjach ustalamy każdorazowo pożądany udział akcji w portfelu.

2. Dla każdego roku komputer generuje losowo stopy zwrotu z akcji i obligacji, przy założeniu, że rozkładają się one w czasie zgodnie z tzw. rozkładem normalnym (który opisaliśmy przed tygodniem). Wynik takiej symulacji dla całego założonego okresu „x" lat to tzw. ścieżka.

3. Czynność z punktu 2 powtarza się wielokrotnie i w ten sposób uzyskuje się dużą liczbę losowych ścieżek. Generalnie im jest ich więcej, tym lepiej. Specjalistyczne programy generują nawet 10 tys. ścieżek. My, posiłkując się zwykłym arkuszem kalkulacyjnym, poprzestaliśmy na pięciuset.

4. Mając 500 różnych ścieżek, posiadamy 500 hipotetycznych wartości dla dowolnego roku. Teraz wystarczy już tylko uszeregować te wartości od najmniejszej do największej, a następnie podzielić cały ten zbiór na odpowiednie odsetki. Przykładowo w jednej z symulacji wyszło, że w wieku 30 lat omawiany w tekście inwestor posiadałby od 5560 zł do 7649 zł. 90 proc. wszystkich wartości dla tego roku było powyżej kwoty 6081 zł, co oznacza, że z prawdopodobieństwem 90 proc. można założyć, że kapitał inwestora w wieku 30 lat wyniesie co najmniej 6081 zł.

5. Zapisujemy wyniki i całą procedurę powtarzamy od początku, zmieniając np. udział akcji w portfelu. Dzięki temu możemy się zorientować, jak najlepiej zbudować portfel.

Symulacja pozwala odpowiedzieć na takie pytania:

Jakich zysków można oczekiwać?

Jak duży powinien być udział akcji w portfelu?

Ile pieniędzy należy odkładać, żeby osiągnąć zakładane cele finansowe?