Zmiany harmoniczne
Próby prognozowania kursów giełdowych wyłącznie na podstawie ich zachowania w przeszłości nieodparcie kojarzą się z analizą techniczną albo analizą portfelową. Jako uzupełnienie można przywołać jeszcze różne metody nowoczesne, takie jak techniki oparte na sieciach neuronowych czy fraktalach. Analiza fundamentalna to w tym przypadku temat z innej bajki.
Jeśli do przewidywania używane są proste metody, oparte na regresji i aparacie statystycznym (tzw. naiwne), ich użytkowników utożsamia się ze środowiskiem naukowym. Podobnie jest też z badaniem cykliczności i koniunktury. Pozostałe rozwiązania, zbudowane na fundamentach założeń ezoterycznych i analogii, to już domena analityków i graczy. A jak można zakwalifikować badanie zmienności kursów, zrealizowane na podstawie analizy harmonicznych? To też metoda naukowa, bo opiera się na narzędziach wywodzących się z ekonometrii, których przeciętni inwestorzy raczej nie wykorzystują. Jednak jej idea zdaje się bardziej pasować do mentalności analizy technicznej, i to tej o charakterze "masowym". Przy czym pod pojęciem analizy "masowej", rozumiem takie twory, jak np. teoria Elliotta.Analiza cyklicznościCzym jest wobec tego analiza zmian harmonicznych? W zasadzie jest ona analizą cykliczności. Aby dobrze zrozumieć jej sens, należy cofnąć się do matematyki na poziomie szkoły podstawowej. Mamy dwa punkty o określonych współrzędnych, przez które przechodzi prosta. Trzeba tylko znaleźć odpowiednią funkcję, która reprezentowałaby tę prostą, a raczej parametry dla równania y = ax + b. Banalnie proste. Jeśli obliczymy a i b, to podstawiając za x dowolną liczbę, można znaleźć dowolne y, takie że punkt o współrzędnych (x, y) będzie leżał na tej prostej. A gdyby tak podobnie postąpić z notowaniami giełdowymi? Na pierwszy rzut oka jest to niemożliwe, bo przebieg kursu nie układa się przecież w formie linii prostej. Trzeba by dla niego znaleźć odpowiednio skomplikowane równanie, a raczej ogromny wielomian. Tylko nie wiadomo, na jakiej podstawie można by go wyliczyć.Jest na to inny sposób. Proponuję najpierw sięgnąć do znanej książki Murphy'ego "Analiza techniczna". Jest tam rozdział poświęcony cyklom. Jeśli przyjmiemy, że kolejno po sobie zaobserwowane notowania są jednowymiarowym szeregiem czasowym, to ich zmienność wynika z oddziaływania trzech składników: systematycznego (stałego), przypadkowego i okresowego. Można powiedzieć jeszcze inaczej: na poziom kursu w danym momencie czasu składają się wahania cykliczne, wahania sezonowe, trend, stały poziom cen oraz wahania przypadkowe. Ich wypadkowa daje w efekcie kurs waloru. Dodanie do siebie poszczególnych składników jest bardzo proste. Czy jest jednak możliwe działanie odwrotne? Tak, każdy analityk styka się z tym problemem, opracowując dowolny wykres. Każdy z nas może potwierdzić, że krótkie spojrzenie na kształt wykresu pozwala stwierdzić, że ruchy cen nie przekraczające pewnego poziomu są to zwykłe wahania przypadkowe, natomiast szczyty pojawiające się periodycznie, podlegają w miarę stabilnej okresowości. Poszukiwanie składowych nazywa się dekompozycją szeregu czasowego. Niestety, bez konkretnych wzorów, intuicja pozwala wyodrębnić nie więcej niż kilka najbardziej wyrazistych składowych. A jest to zbyt mało, aby spostrzeżenia takie miały wartość użytkową.Równanie zachowania się cenAnaliza harmonicznych (nazywana bardzo subtelną metodą) zakłada, że każdy szereg czasowy można opisać za pomocą skończonej ilości sinusoid i cosinusoid, które po wzajemnym dodaniu dadzą w efekcie identyczny przebieg, jak prawdziwy szereg. Tym sposobem można otrzymać coś na kształt równania, opisującego zachowanie się cen. Podane poniżej wzory odnoszą się do szeregu czasowego, który nie posiada tendencji rozwojowej (trendu). Nie można więc zastosować ich do samych kursów. Potrzebna będzie miara względna, jaką jest stopa zwrotu (procentowa różnica pomiędzy dwoma kolejnymi kursami). Stopa zwrotu ma tę niezaprzeczalną zaletę, że porusza si w pewnych ramach i oscyluje wokół poziomu średniego. Zachowuje się przy tym dość stabilnie i zazwyczaj nie przekracza poziomu 4 do 5% (w przypadku indeksu oczywiście). Jednak metoda ta nie nadaje się do obserwowania samych spółek. Powodem jest skłonność walorów (zwłaszcza na GPW), do maksymalnych, dopuszczalnych zmian ceny (znowu winne są zlecenia PKC). Im częściej występują, tym bardziej bezwartościowe są wyniki tak przeprowadzonej analizy. Stąd, najbardziej nadają się do niej indeksy. Jako średnia rynku, jest im obca gwałtowność ruchów, tak charakterystyczna w przypadku niektórych spółek.Przyjmuje się, że dokładne opisanie szeregu czasowego, składającego się z n-oberwacji - czyli w naszym przypadku n stóp zwrotu - wymaga odnalezienia n/2 sinusoid i tyleż samo cosinusoid. Co prawda, w podręcznikach znajduje się sugestia, że dokładne odzwierciedlenie można osiągnąć bez potrzeby odnajdywania wszystkich składowych, lecz przy dzisiejszym stanie techniki obliczeniowej, można sobie pozwolić na pełną skrupulatność. I tak nikt nie będzie przeliczał składowych ręcznie.W efekcie, otrzymujemy nieco skomplikowane równanie, dzięki któremu możliwe jest podanie stopy zwrotu r, jaka powinna wystąpić w momencie t. Przy czym t zawiera się w przedziale 1..n.W równaniu tym znajdują się trzy parametry a0, ai i bi, które oblicza się następująco:gdzie: r^ - stopa obliczona na podstawie harmonicznych, n - liczba obserwacji, r - rzeczywista stopa zwrotu.Jak można łatwo zauważyć, a0 to nic innego, jak średnia stopa zwrotu z całego badanego okresu. Stanowi ona swoistą oś, wokół której oscylują poszukiwane przez nas funkcje sinus i cosinus. W stosunku do powyższych wzorów pojawia się tylko jedno zastrzeżenie, są one używane do wyznaczania ai i bi, jeśli i zawiera się w przedziale 1.. n/2. Dla i równego n/2 wyglądają nieco inaczej:Na wykresie obok znajduje się przykład takiej analizy. Histogram w górnej części wykresu to rzeczywiste, dzienne stopy zwrotu, jakie wystąpiły dla WIG-u podczas 200 sesji (do 15 marca 1999 r. włącznie). Zostało dla nich opracowane 100 harmonicznych. Część dolna to stopy zwrotu wyliczone już na podstawie harmonicznych. Jak widać, idealnie odtwarzają rzeczywistość, a histogramy są identyczne.Ułomne prognozowanieW tym momencie dochodzimy do zasadniczego punktu tego artykułu. To bardzo dobrze, że istnieje kolejna metoda, według której można dokładnie odtworzyć rzeczywistość. Fakt ten na pewno sprawi wiele radości rozmaitym teoretykom. Praktyków zainteresuje jednak zupełnie coś innego. Czy można bowiem założyć, że harmoniczne opracowane dla n sesji będą słuszne także dla sesji n+1 albo wręcz kilku następnych notowań? W pierwszym z zaprezentowanych wzorów za t można przecież podstawić liczbę większą niż n, na przykład równą n+1.Jeśli tak, znaczyłoby to, że analiza harmonicznych jest doskonałą metodą prognozowania kursów. Na dolnym histogramie, po jego prawej stronie znajduje się kilka kresek więcej. Są to właśnie przewidywane stopy zwrotu, wyliczone na bazie 100 harmonicznych. W przedstawionym przypadku prognoza akurat się sprawdziła.Niestety, jak się można łatwo domyślić, generalna skuteczność takich przewidywań jest mało użyteczna. Z przeprowadzonego testu wynika, że nie przekracza poziomu 50% (do kładnie, średnio wynosi około 49,8%). Jest tak zarówno w przypadku WIG-u, jak Dow Jonesa, DAX i CAC-a. Tym sposobem nie da się więc zbić fortuny. Przyczyna takiego stanu rzeczy jest oczywista: obliczone harmoniczne są słuszne tylko dla okresu n-sesji, których dotyczą. Każde kolejne notowanie wymaga ich ponownego przeliczenia, bo każdy nowo zaobserwowany kurs zmienia już właściwości całego systemu. Można oczywiście eksperymentować z długością okresu, z jakiego należy zliczać harmoniczne. W pewnych przypadkach pewnie możliwe będzie uzyskanie większej skuteczności, ale będzie to stan niestabilny. Sprawdzalność taka będzie tym większa, im bardziej liczba sesji będzie zbliżała się do długości cyklu, charakterystycznego dla danego rynku. Mimo to, próby z cyklem 22- lub 25-sesyjnym, jaki przypisuje się GPW, dają mierne rezultaty. Skuteczność prognoz dalej pozostaje w pobliżu 50%. Godne zainteresowania byłyby wtedy, gdyby były znacznie większe lub znacznie mniejsze od tej wartości.Czego więc dowodzi ten artykuł? Że analiza harmonicznych, to kolejne narzędzie (jak kilka innych z analizy technicznej), które najlepiej sprawdza się przy opisywaniu przeszłości. Do prognoz ma się nijak. Na pewno więc nie nadaje się do zastosowania w rozmaitych systemach automatycznego inwestowania, które stały się ostatnio tak popularne na łamach Parkietu. Na pewno warto się nią zainteresować, ale w połączeniu z innym narzędziem, np. analizą popytu i podaży. Jeśli mimo to znajdzie się wśród czytelników ktoś zainteresowany tym problemem, służę programem do wyliczania harmonicznych.
Proszę o kontakt: e-mail: [email protected].
Artur DEMBNY
