Analiza portfelowa

Teoria portfelowa w swoich badaniach koncentruje się na obserwacji stopy zwrotu(czyli procentowej zmiany ceny, np. dziennej, tygodniowej, miesięcznej), a niesamego kursu. Jeśli więc pomiędzy stopą zwrotu z akcji a stopą zwrotu z indeksu pojawia się współzależność, można ją zmierzyć za pomocą znanego ze statystyki współczynnika korelacji.

TeoriaPodstawą modelu jednowskaźnikowego, opracowanego przez W.F. Sharpe'a, jest założenie, że kursy akcji naśladują zachowanie rynku (za miarę rynku przyjmuje się na przykład indeks). Należy przez to rozumieć, że wzrost wartości indeksu powinien przynieść wzrost kursu akcji i odwrotnie, spadek wartości indeksu, powinien za sobą pociągać zniżkę notowań akcji. Mówiąc krótko - zmiany kursu i indeksu powinny być ze sobą powiązane. W gruncie rzeczy w zależności tej nie ma niczego zaskakującego. Skoro bowiem wartość indeksu jest wyznaczana na podstawie notowań akcji, jest oczywiste, że musi między nimi występować mniejszy lub większy związek, który działa w obie strony. Badanie tej współzależności jest więc poniekąd poszukiwaniem sprzężenia zwrotnego.Wracając do tematu, teoria portfelowa w swoich badaniach koncentruje się na obserwacji stopy zwrotu (czyli procentowej zmiany ceny, np. dziennej, tygodniowej, miesięcznej), a nie samego kursu. Jeśli więc pomiędzy stopą zwrotu z akcji a stopą zwrotu z indeksu pojawia się współzależność, można ją zmierzyć za pomocą znanego ze statystyki współczynnika korelacji. Może on przyjmować wartości od -1 do +1. Jeśli jest zbliżony do +1, o danym walorze mówi się, że prawie idealnie kopiuje zachowanie rynku, ponieważ jest z nim bardzo mocno skorelowany. Wartość współczynnika bliska -1 jest sygnałem, że walor postępuje przeciwnie niż rynek (na jego wzrost odpowiada spadkiem, a na spadek wzrostem), czyli jest odwrotnie skorelowany. Gdy współczynnik korelacji oscyluje wokół zera, walor jest neutralny w stosunku do rynku, a jego stopa zwrotu jest niezależna od jego zmienności. Sposób na obliczanie współczynnika korelacji podaje literatura, ale najprościej jest posłużyć się gotową formułą z arkusza kalkulacyjnego. Mówienie o korelacji w formie teoretycznej może wydawać się jednak mało zajmujące. Proponuję więc spojrzeć na wykres 1, bo nic nie przemawia bardziej do wyobraźni niż naoczny przykład.Współrzędną x każdego z punktów jest dzienna stopa zwrotu WIG-u, natomiast współrzędną y - dzienna stopa zwrotu Optimusa z tego samego dnia. Dane pochodzą z lat 1995-1998. Widać wyraźnie, że "chmura" punktów tworzy kształt elipsy i skupia się w I i II ćwiartce wykresu. Większość spółek zachowuje się podobnie - wykazują zazwyczaj wysoki poziom korelacji w stosunku do rynku. W przypadku wystąpienia korelacji ujemnej, większość punktów znalazłaby się w ćwiartkach II i IV. W sytuacji braku korelacji, punkty byłyby rozrzucone mniej więcej równomiernie we wszystkich ćwiartkach, a utworzona przez nie "chmura" przypominałaby koło.Czy istnieje sposób, aby rozrzut punktów w pewien sposób opisać? Oczywiście, służy do tego model jednowskaźnikowy W.F. Sharpe'a. Przez "chmurę" należy przeprowadzić linię prostą. Z oczywistych powodów nie będzie przechodziła przez wszystkie punkty, ale można ją maksymalnie dopasować (metodą najmniejszych kwadratów). Taka prosta ma następującą postać:ri = a + (b rm) + eri - stopa zwrotu z akcji i w dniu t,rm - stopa zwrotu z indeksu w dniu t,b - współczynnik kierunkowy,a - wyraz wolny (stały),e - element losowy (zmienny).Graficzny obraz takiego równania nazywa się linią charakterystyczną waloru. Dzięki niej i samemu równaniu można oszacować, jaka stopa zwrotu ri powinna wystąpić dla konkretnych akcji w dniu t, jeśli w tym samym czasie indeks zanotował stopę zwrotu rm. Tym samym można również określić różnicę pomiędzy faktyczną stopą zwrotu a teoretyczną, wyznaczoną na podstawie wzoru. Wnioski, jakie można wyciągnąć z takich obserwacji, nadają się na osobny artykuł. Aby obliczyć parametry tego równania, czyli beta i alfa,potrzebne jest jeszcze odchylenie standardowe dla stopy zwrotu indeksu oraz waloru. Mając komplet tych danych, betę i alfę oblicza się jako:_ri - średnia stopa zwrotu dla waloru i,_rm - średnia stopa zwrotu rynku (indeksu),si - odchylenie standardowe stopy zwrotu waloru i,sm - odchylenie standardowe stopy zwrotu rynku (indeksu),rim - współczynnik korelacji pomiędzy stopą zwrotu indeksu i akcji i.Wszystkie wymienione wyżej parametry oblicza się dla okresu, w którym prowadzone są obserwacje. Schematyczny przebieg linii charakterystycznej pokazuje wykres 2.Dla inwestora największą wartość informacyjną niesie współczynnik kierunkowy beta. O ile korelacja informuje, jaki jest poziom współzależności pomiędzy stopami zwrotu, o tyle beta ukazuje skalę reakcji waloru na zmiany indeksu. Jeśli beta jest równa 1, poziom zmiany stopy zwrotu akcji jest proporcjonalny do poziomu zmian indeksu. Jeśli jest większy od 1, walor jest agresywny i zawsze reaguje bardziej niż indeks. Jeśli jest mniejszy od 1, walor jest defensywny i reaguje słabiej niż rynek. Różne spółki będą się więc charakteryzowały odmiennym nachyleniem linii charakterystycznej. Gdyby walor był ujemnie skorelowany z indeksem, wtedy beta byłaby mniejsza od zera i w analogiczny sposób można by mierzyć skalę spadku kursu akcji w odpowiedzi na wzrost indeksu. Na tej podstawie inwestorzy mogą oceniać zachowanie spółek i szacować ryzyko włączenia ich do swoich portfeli.RzeczywistośćPo tym przydługawym wstępie, niezbędnym do zrozumienia meritum tego artykułu, czas zejść na ziemię. Jak można się domyślać, realia odbiegają nieco od książkowych wykresów. Rozkład stopy zwrotu (dziennej, tygodniowej, a nawet miesięcznej) jest w miarę normalny, ale posiada tzw. grube ogony. Powodem takiego stanu rzeczy są stosunkowo częste maksymalne zmiany ceny (na GPW o -10% i +10%). Zjawisko takie występuje na wszystkich giełdach, ale w Polsce uwidacznia się w znacznie większym stopniu (z całą pewnością odpowiadają za to zlecenia PKC i zamiłowanie inwestorów do ich częstego składania).Oprócz elipsy, podobnej do tej z wykresu 1 i wykresu 2, wytworzyły się jeszcze trzy inne skupiska punktów. Duża liczba obserwacji jest zgrupowana na maksymalnych poziomach odchyleń dziennej stopy zwrotu akcji (-10% oraz +10%) oraz na poziomie zerowym (stopa zwrotu z akcji równa zero). Jednak największe znaczenie mają grupy skrajne. Ich wpływ na wielkość współczynnika beta jest znaczący, zwiększają nachylenie linii charakterystycznej o kilka procent.Dwa zgrupowania punktów na granicy maksymalnych zmian ceny, powodują, że dopasowanie przebiegu prostej zmienia się w stosunku do oczekiwanego przebiegu. Ktoś może mi zarzucić, że tak właśnie powinno być, bo nachylenie prostej musi obrazować rozkład wszystkich punktów. Niewątpliwie tak. Jednak z drugiej strony sądzę, że ideą przyświecającą ogłoszeniu modelu jednowskaźnikowego było założenie, że punkty skupiają się losowo wokół prostej, a W. Sharpe prezentując swój model miał na myśli walory, które zachowują się tak jak ten z wykresu 1. Dopuszczalne są oczywiście obserwacje przypadkowe, rozsiane po całym wykresie, ale nie aż w takich wyraźnych skupiskach albo przynajmniej nie w takich, które zaczynają dominować nad nachyleniem krzywej.Współczynnikskłonności (?)Aby pozbyć się tej niedogodności, można zastosować dwa rozwiązania. Po pierwsze - zignorować wszystkie obserwacje skrajne. Jed-nak w ten sposób pozbywając się jednego problemu, powstaje drugi - obarcza się otrzymane wyniki brakiem reprezentatywności. Po drugie - można trochę "ulepszyć" procedurę oznaczania współczynnika korelacji lub podmienić go innym miernikiem współzależności zdarzeń.Dobry pogląd na skalę współzależności daje następująca metoda jej pomiaru: w badanym okresie należy porównywać kolejne stopy zwrotu z akcji i indeksu. Jeśli ich znaki są jednakowe (wzrost i wzrost lub spadek i spadek), przyznajemy jedynkę. Jeśli kierunki są różne (spadek i wzrost), przyznajemy zero. Następnie należy zsumować wszystkie jedynki, a wynik podzielić przez liczbę obserwacji n. Rezultat informuje, w jakim stopniu akcje naśladują zachowanie indeksu, a w zasadzie jakie jest prawdopodobieństwo, że dany walor na wzrost indeksu również odpowie wzrostem kursu (lub spadkiem w odpowiedzi na spadek). Tak liczony współczynnik, nie jest obciążony błędem skrajnych obserwacji, ponieważ nie odnosi się do konkretnych zmian cen. Nazwijmy go współczynnikiem skłonności. Może przyjmować wartość od 0 do 1. Zero wystąpi w przypadku waloru zachowującego się idealnie odwrotnie niż rynek. Jedynka oznacza zaś doskonałe kopiowanie rynkuAby można było "podmienić" takim współczynnikiem współczynnik korelacji, trzeba go jeszcze tak dopasować, aby zmieniał się w zakresie od -1 do +1. Jest to bardzo proste. Wystarczy przemnożyć go przez 2 i odjąć 1. Gotowy wzór znajduje się poniżej.W tabeli pokazane są zwykłe współczynniki korelacji i alternatywne, policzone według proponowanej metody. O współczynniku korelacji liczonym na giełdach mówi się, że w miarę zwiększania okresu, dla którego jest wyznaczany, jego wartość będzie coraz bardziej zbliżać się do +1. Tym samym będzie to wpływało niekorzystnie na betę, która będzie się przez to coraz bardziej ujednolicać. Nowy współczynnik - jak wynika z tabelki - oscyluje na nieco niższym poziomie bezwzględnym. Dzięki temu wyznaczona na jego podstawie beta spowoduje, że linia charakterystyczna ma mniejsze nachylenie i tym samym nie jest aż tak bardzo uzależniona od skrajnych zmian cen, a więc jest bardziej dopasowana do "chmury" obserwacji zebranych w elipsie, kosztem obserwacji skrajnych.

Artur Dembny

Autor jest pracownikiem BDM PKO BPoraz doktorantem Akademii Ekonomicznej w Poznaniu