Zmienność w modelu Blacka&Scholesa

Równania Blacka&Scholesa umożliwiają wycenę europejskich opcji kupna i opcji sprzedaży i uzależniają ich cenę od pięciu zmiennych: ceny akcji, ceny wykonania opcji, wolnej od ryzyka stopy procentowej, czasu pozostającego do wygaśnięcia opcji oraz zmienności cen. Jedynym parametrem we wzorach Blacka&Scholesa, co do którego wartości nie możemy mieć pewności (jednocześnie jego prawidłowa estymacja ma kluczowe znaczenie), jest zmienność cen.

W poprzednim odcinku przedstawiłem metodę szacowania zmienności na podstawie danych historycznych. Wspominałem również, że w stosunku do tej metody istnieje podejście alternatywne, pozwalające poznać wartość tak zwanej zmienności implikowanej.

Zmienność implikowana

Implikowana zmienność to zmienność wynikająca z obserwowanej ceny akcji. W najprostszy sposób można opisać poszukiwanie odpowiedniego poziomu zmiennej jako wstawianie metodą prób i błędów odpowiedniej wartości do równań modelu Blacka&Scholesa, tak aby końcowy wynik odpowiadał bieżącej cenie opcji. Najlepiej jeżeli istnieje kilka różnych opcji o tym samym instrumencie bazowym - wtedy możemy otrzymać wartość zmienności implikowanej z kilku źródeł. W takiej sytuacji najlepiej za wynik ostateczny przyjąć średnią ważoną z otrzymanych wyników cząstkowych. Przy czym należy pamiętać, że największe znaczenie mają zmienności pochodzące z najkrótszych (najszybciej wygasających) opcji in the money lub at the money. Zdecydowanie mniejsze znaczenie należy przypisywać opcjom będącym głęboko out of money, które po prostu najczęściej w bardzo ograniczony sposób reagują na wszelkie zmiany kursu instrumentu bazowego.

Jak wspomniałem, wcześniej nie wydaje mi się, aby ta metoda szacowania zmienności miała zbyt duże zastosowanie, szczególnie na początku notowań opcji. Nie należy jednak o niej zapominać, ponieważ może być czasami źródłem dodatkowej wiedzy i uzupełniać nasze obecne wyliczenia. Dosyć dużo miejsca poświęciłem parametrowi zmienności, ale jeszcze raz pragnę podkreślić, iż w wycenie opcji ma on kluczowe znaczenie. Dlatego tak ważne jest poznanie i dobre zrozumienie sensu istnienia tego wskaźnika.

Giełda nam pomoże

Z matematycznego punktu widzenia model Blacka&Scholesa sprowadza się do kilku dosyć skomplikowanych równań. Nie będę ich jednak w tym miejscu prezentował nie tylko ze względu na ich złożoną konstrukcję. Dokładna charakterystyka wszystkich równań przekształciłaby tekst, którego celem jest przede wszystkim przedstawienie ogólnego mechanizmu modelu, w matematyczny wykład. Dokładne zapoznanie się z modelem od strony matematycznej wymaga sięgnięcia do literatury książkowej.

Poza tym nie wyobrażam sobie, by ktoś chciał liczyć wartość opcji ręcznie, bez pomocy odpowiedniego programu komputerowego. Wyliczeń nie musimy robić osobiście, ale nikt nie wyręczy nas w odpowiedniej interpretacji otrzymanych wyników. To z kolei nie jest możliwe bez zrozumienia mechanizmów i logiki modelu. Warto również w tym miejscu zaznaczyć, że w wycenie opcji wspomagać inwestorów najprawdopodobniej będzie również sama Giełda Papierów Wartościowych, która ma publikować kursy odniesienia dla danej opcji, wyliczone właśnie na podstawie modelu Blacka&Scholesa. Taki orientacyjny punkt odniesienia będzie bardzo wygodny dla wielu inwestorów. Pozostanie im bowiem jedynie ocena przyjętego parametru zmienności i odpowiednia weryfikacja w dół bądź w górę ostatecznej ceny w zleceniu.